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--- howto:hambasics:sections:test [2021/01/02 08:57] – [Forme Polaire] va7fi
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-~~NOTOC~~
-====== Outils mathématiques ======
-===== Les nombres réels =====
-  * \$ (5) \times (5) = \Box \$
-  * \$ (-5) \times (-5) = \Box \$
-  * \$ \Box \times \Box = -25 \$ Il n'existe pas de nombre qu'on peut multiplier par lui même et obtenir un résultat négatif, mais pourrait-on en //inventer// un?
-===== Les nombres complexes =====
-\$ i = \sqrt{-1} \qquad \Rightarrow \qquad i^2 = -1 \$
-Même si \$ i \not\in \mathbb{R} \$, on peut quand même faire des opérations mathématiques assez intéressantes avec:
-  * On peut multiplier: \\ \$ \begin{align*} (1+i)^2 &= 1 + 2i + i^2 \\ &= 1 + 2i - 1 \\ &= 2i \end{align*} \$
-  * On peut trouver des racines: \\ \$ \begin{equation*} z^4 = 16 \Rightarrow z^2 = \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \end{equation*} \$ ou \\ \$\begin{equation*} z^8 = 256 \Rightarrow z^4 = \left\{ \begin{array}{rl} 16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \\ -16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1+i) \\ -4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1-i) \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \end{equation*} \$
-=== Un peu de philosophie... ===
-Si on peut soumettre ces nombres bizarres à toutes les règles d'algèbres qu'on connaît sans arriver à d'incohérence, est-ce que ça veut dire qu'ils //existent// autant que les nombres réels? Les nombres complexes ne sont-ils pas une //création// de la part des mathématiciens? Et les mathématiques ne sont-elles pas //découvertes//? D'une certaine manière, les nombres négatifs sont tout aussi bizarre. Après tout, on sait à quoi ça ressemble 5 voitures, mais -5 voitures? hmmm...
-===== Plan complexe =====
-Pour représenter un nombre complexe graphiquement: Par exemple: \$ z^8 = 256 \$:
-FIXME: geogebra
- Les points noires: \$ z = a + ib \$ sont des solutions de l'équation \$ z^n = w \$. On remarque:
-  * ...
-  * ...
-  * ...
-=== Exercices ===
-  * Graphiquement, quelles seraient les solutions de \$ z^3 = 8 \$ ?
-  * Comment pourraient-on calculer ces nombres algébriquement?
-  * Algébriquement, calculer les racines de \$ z^2 = 2i \$ et vérifier vos réponses avec le graphique ci-dessous.
-FIXME: Geogebra
-===== Forme Polaire =====
-Comme pour les vecteurs, les nombres complexes peuvent être exprimés en coordonnées cartésiennes ou polaires.
-FIXME: Geogebra
-Pour convertir d'une représentation à l'autre, on utilise Pythagore et un peu de trigonométrie:
-|<100% - >|
-^ \$ a + ib \rightarrow r\angle \theta \$ ^ \$ r\angle \theta \rightarrow a+ib \$ |
-| \$ r^2 = a^2 + b^2 \$  |  \$ a = r\cos\theta \$ |
-| \$ \tan \theta = \dfrac{b}{a} \$ | \$ b = r\sin\theta \$ |
-=== Exercices ===
-  * Convertir \$ 6 \angle \frac{\pi}{3} \$ en coordonnées cartésiennes.
-  * Convertir \$ 8 - 2i \$ en coordonnées polaires.