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--- howto:hambasics:sections:test [2021/01/02 09:08] – [Formule de Euler] va7fi
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-~~NOTOC~~
-====== Outils mathématiques ======
-===== Les nombres réels =====
-  * \$ (5) \times (5) = \Box \$
-  * \$ (-5) \times (-5) = \Box \$
-  * \$ \Box \times \Box = -25 \$ Il n'existe pas de nombre qu'on peut multiplier par lui même et obtenir un résultat négatif, mais pourrait-on en //inventer// un?
-===== Les nombres complexes =====
-\$ i = \sqrt{-1} \qquad \Rightarrow \qquad i^2 = -1 \$
-Même si \$ i \not\in \mathbb{R} \$, on peut quand même faire des opérations mathématiques assez intéressantes avec:
-  * On peut multiplier: \\ \$ \begin{align*} (1+i)^2 &= 1 + 2i + i^2 \\ &= 1 + 2i - 1 \\ &= 2i \end{align*} \$
-  * On peut trouver des racines: \\ \$ \begin{equation*} z^4 = 16 \Rightarrow z^2 = \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \end{equation*} \$ ou \\ \$\begin{equation*} z^8 = 256 \Rightarrow z^4 = \left\{ \begin{array}{rl} 16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \\ -16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1+i) \\ -4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1-i) \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \end{equation*} \$
-=== Un peu de philosophie... ===
-Si on peut soumettre ces nombres bizarres à toutes les règles d'algèbres qu'on connaît sans arriver à d'incohérence, est-ce que ça veut dire qu'ils //existent// autant que les nombres réels? Les nombres complexes ne sont-ils pas une //création// de la part des mathématiciens? Et les mathématiques ne sont-elles pas //découvertes//? D'une certaine manière, les nombres négatifs sont tout aussi bizarre. Après tout, on sait à quoi ça ressemble 5 voitures, mais -5 voitures? hmmm...
-===== Plan complexe =====
-Pour représenter un nombre complexe graphiquement: Par exemple: \$ z^8 = 256 \$:
-FIXME: geogebra
- Les points noires: \$ z = a + ib \$ sont des solutions de l'équation \$ z^n = w \$. On remarque:
-  * ...
-  * ...
-  * ...
-=== Exercices ===
-  * Graphiquement, quelles seraient les solutions de \$ z^3 = 8 \$ ?
-  * Comment pourraient-on calculer ces nombres algébriquement?
-  * Algébriquement, calculer les racines de \$ z^2 = 2i \$ et vérifier vos réponses avec le graphique ci-dessous.
-FIXME: Geogebra
-===== Forme Polaire =====
-Comme pour les vecteurs, les nombres complexes peuvent être exprimés en coordonnées cartésiennes ou polaires.
-FIXME: Geogebra
-Pour convertir d'une représentation à l'autre, on utilise Pythagore et un peu de trigonométrie:
-^ \$$ a + ib \rightarrow r\angle \theta \$$ ^ \$$ r\angle \theta \rightarrow a+ib \$$ |
-| \$$ r^2 = a^2 + b^2 \$$  |  \$$ a = r\cos\theta \$$  |
-| \$$ \tan \theta = \dfrac{b}{a} \$$ | \$$ b = r\sin\theta \$$ |
-=== Exercices ===
-  * Convertir \$ 6 \angle \frac{\pi}{3} \$ en coordonnées cartésiennes.
-  * Convertir \$ 8 - 2i \$ en coordonnées polaires.
-===== Formule de Euler =====
-La formule de Euler expose une relation très profonde entre les fonctions trigonométriques et les fonctions exponentiels ((Note, obtenir "la plus belle équation du monde", on met \$ \theta = \pi \$ dans la formule de Euler...)):
-\$$ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \$$
-Vérifions cette identité mystérieuse de deux façons.
-=== La dérivée ===
-Si on sépare cette identité en deux fonctions et qu'on prend la dérivées de ces deux fonctions, on remarque que:
-\$ \begin{align*}
-\text{Si} && f(\theta) &= e^{i \theta} &\text{ et }&& g(\theta) &= \cos \theta + i \sin \theta \\
-\Rightarrow && f'(\theta) &= i e^{i \theta} &\text{ et }&& g'(\theta) &= -\sin \theta + i \cos \theta \\
-\Rightarrow && f'(\theta) &= i \cdot f(\theta) &\text{ et }&& g'(\theta) &= i \cdot g(\theta)
-\end{align*} \$
-On sait qu'il n'y a qu'une fonction \$ h(x) \$ qui satisfasse l'équation différentiel \$ h'(x) = ah(x) \$, et qu'elle est: \$ h(x) = A e^{ax} \$ Ce que Euler à découvert est que quand \$ a = i \$ il y a une deuxième fonction qui satisfasse la même équation différentiel! Ces deux fonctions doivent donc être la même.
-=== Taylor ===
-Une autre méthode de vérifier la formule d'Euler est d'utiliser les séries de Taylor:
-\$ \begin{align*}
-e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
-\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\
-\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
-\end{align*} \$
-Si on remplace \$ x \$ par \$ i \theta \$ et qu'on additionne les séries de \$ \cos \theta \$ et \$ i \sin \theta \$ on obtiendra la série de \$ e^{i \theta} \$
-=== Exercices ===
-  * Utiliser la formule de Euler pour obtenir ces deux résultats qui seront très pratique:
-\$$ \cos \theta = \dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \qquad \text { et } \qquad \sin \theta = \dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \$$
-  * Utiliser la formule de Euler pour démonter d'un seul coup que:
-\$ \begin{align*}
-\cos (\theta + \phi) &= \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \qquad \text{et}\\
-\sin (\theta + \phi) &= \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi
-\end{align*} \$