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--- howto:hambasics:sections:test [2021/01/02 17:03] – [Équations différentiels] va7fi
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-~~NOTOC~~
-====== Outils mathématiques ======
-===== Les nombres réels =====
-  * \$ (5) \times (5) = \Box \$
-  * \$ (-5) \times (-5) = \Box \$
-  * \$ \Box \times \Box = -25 \$ Il n'existe pas de nombre qu'on peut multiplier par lui même et obtenir un résultat négatif, mais pourrait-on en //inventer// un?
-===== Les nombres complexes =====
-\$ i = \sqrt{-1} \qquad \Rightarrow \qquad i^2 = -1 \$
-Même si \$ i \not\in \mathbb{R} \$, on peut quand même faire des opérations mathématiques assez intéressantes avec:
-  * On peut multiplier: \\ \$ \begin{align*} (1+i)^2 &= 1 + 2i + i^2 \\ &= 1 + 2i - 1 \\ &= 2i \end{align*} \$
-  * On peut trouver des racines: \\ \$ \begin{equation*} z^4 = 16 \Rightarrow z^2 = \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \end{equation*} \$ ou \\ \$\begin{equation*} z^8 = 256 \Rightarrow z^4 = \left\{ \begin{array}{rl} 16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \\ -16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1+i) \\ -4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1-i) \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \end{equation*} \$
-=== Un peu de philosophie... ===
-Si on peut soumettre ces nombres bizarres à toutes les règles d'algèbres qu'on connaît sans arriver à d'incohérence, est-ce que ça veut dire qu'ils //existent// autant que les nombres réels? Les nombres complexes ne sont-ils pas une //création// de la part des mathématiciens? Et les mathématiques ne sont-elles pas //découvertes//? D'une certaine manière, les nombres négatifs sont tout aussi bizarre. Après tout, on sait à quoi ça ressemble 5 voitures, mais -5 voitures? hmmm...
-===== Plan complexe =====
-Pour représenter un nombre complexe graphiquement: Par exemple: \$ z^8 = 256 \$:
-FIXME: geogebra
- Les points noires: \$ z = a + ib \$ sont des solutions de l'équation \$ z^n = w \$. On remarque:
-  * ...
-  * ...
-  * ...
-=== Exercices ===
-  * Graphiquement, quelles seraient les solutions de \$ z^3 = 8 \$ ?
-  * Comment pourraient-on calculer ces nombres algébriquement?
-  * Algébriquement, calculer les racines de \$ z^2 = 2i \$ et vérifier vos réponses avec le graphique ci-dessous.
-FIXME: Geogebra
-===== Forme Polaire =====
-Comme pour les vecteurs, les nombres complexes peuvent être exprimés en coordonnées cartésiennes ou polaires.
-FIXME: Geogebra
-Pour convertir d'une représentation à l'autre, on utilise Pythagore et un peu de trigonométrie:
-^ \$$ a + ib \rightarrow r\angle \theta \$$ ^ \$$ r\angle \theta \rightarrow a+ib \$$ |
-| \$$ r^2 = a^2 + b^2 \$$  |  \$$ a = r\cos\theta \$$  |
-| \$$ \tan \theta = \dfrac{b}{a} \$$ | \$$ b = r\sin\theta \$$ |
-=== Exercices ===
-  * Convertir \$ 6 \angle \frac{\pi}{3} \$ en coordonnées cartésiennes.
-  * Convertir \$ 8 - 2i \$ en coordonnées polaires.
-===== Formule de Euler =====
-La formule de Euler expose une relation très profonde entre les fonctions trigonométriques et les fonctions exponentiels ((Note, obtenir "la plus belle équation du monde", on met \$ \theta = \pi \$ dans la formule de Euler...)):
-\$$ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \$$
-Vérifions cette identité mystérieuse de deux façons.
-=== La dérivée ===
-Si on sépare cette identité en deux fonctions et qu'on prend la dérivées de ces deux fonctions, on remarque que:
-\$ \begin{align*}
-\text{Si} && f(\theta) &= e^{i \theta} &\text{ et }&& g(\theta) &= \cos \theta + i \sin \theta \\
-\Rightarrow && f'(\theta) &= i e^{i \theta} &\text{ et }&& g'(\theta) &= -\sin \theta + i \cos \theta \\
-\Rightarrow && f'(\theta) &= i \cdot f(\theta) &\text{ et }&& g'(\theta) &= i \cdot g(\theta)
-\end{align*} \$
-On sait qu'il n'y a qu'une fonction \$ h(x) \$ qui satisfasse l'équation différentiel \$ h'(x) = ah(x) \$, et qu'elle est: \$ h(x) = A e^{ax} \$ Ce que Euler à découvert est que quand \$ a = i \$ il y a une deuxième fonction qui satisfasse la même équation différentiel! Ces deux fonctions doivent donc être la même.
-=== Taylor ===
-Une autre méthode de vérifier la formule d'Euler est d'utiliser les séries de Taylor:
-\$ \begin{align*}
-e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
-\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\
-\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
-\end{align*} \$
-Si on remplace \$ x \$ par \$ i \theta \$ et qu'on additionne les séries de \$ \cos \theta \$ et \$ i \sin \theta \$ on obtiendra la série de \$ e^{i \theta} \$
-=== Exercices ===
-  * Utiliser la formule de Euler pour obtenir ces deux résultats qui seront très pratique:
-\$$ \cos \theta = \dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \qquad \text { et } \qquad \sin \theta = \dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \$$
-  * Utiliser la formule de Euler pour démonter d'un seul coup que:
-\$
-\begin{align*}
-\cos (\theta + \phi) &= \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \qquad \text{et}\\
-\sin (\theta + \phi) &= \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi
-\end{align*}
-\$
-  * Utiliser les deux résultats de la formule de Euler pour démontrer que:
-\$$ \sin (\theta + \Delta \theta) + \sin (\theta - \Delta \theta) = 2 \cos \Delta \theta \sin \theta \$$
-(ce qui sera très important quand nous ferons de l'interférence d'onde...)
-===== Équations différentiels =====
-Dans la physique des ondes, on aura bientôt à trouver la solutions d'une équation différentiel de ce type:
-\$$ a \ddot{x}(t) + b \dot{x}(t) + c x(t) = 0 \$$
-Dans nos applications, les paramètres \$ a, b, c \$ serons tous des quantités réels et positive. Même sans avoir étudier le sujet d'équation différentiels en profondeurs, on peut imaginer qu'une solution possible serait \$ x(t)= e^{rt} \$ puisque la dérivé d'une fonction exponentiel est elle même une fonction exponentiel, ce qui est encourageant... L'étape suivante est donc d'essayer cette fonction dans l'équation différentiel, pour trouver les valeurs de \$ r \$ qui fonctionnent. Donc:
-\$ \begin{align*}
-& x (t) = e^{rt} \\
-\Rightarrow \qquad & \dot{x}(t) = r e^{rt} \\
-\Rightarrow \qquad & \ddot{x}(t) = r^2 e^{rt}
-\end{align*} \$
- et notre équation différentiel devient:
-\$ \begin{align*}
-& a \ddot{x}(t) + b \dot{x}(t) + c x(t) = 0 \\
-\Rightarrow \qquad & a (r^2 e^{rt}) + b (r e^{rt}) + c (e^{rt}) = 0 \\
-\Rightarrow \qquad & e^{rt} (a r^2 + b r + c ) = 0 \\
-\Rightarrow \qquad & a r^2 + b r + c = 0
-\end{align*} \$
-\$ \Rightarrow \qquad r = - \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \$
-Puisque \$ r \$ contient une racine carré, il peut être réel, ou complexe. Pour simplifier la notation, disons que: \$ \alpha = \dfrac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = \dfrac{\sqrt{|{b^2 - 4ac}|}}{2a} \$
-Nous pourrons donc dire que: \$ \begin{equation*} r = \left\{ \begin{array}{rl} -\alpha \pm \beta & \text{si } b^2 - 4ac > 0,\\
- -\alpha \pm i \beta & \text{si } b^2 - 4ac < 0, \end{array} \right. \end{equation*} \$
-Examinons les deux cas en plus de détails.
-=== Cas 1: ===
-Quand \$ b^2 - 4ac > 0 \$ , \$ r \$ est réel et la solutions général sera:
-\$ \begin{align*}
-x(t) &= A_1 e^{r_1 t} + A_2 e^{r_2 t} \\
-&= A_1 e^{( -\alpha + \beta) t} + A_2 e^{( -\alpha - \beta) t} \\
-&= A_1 e^{-\alpha t} e^{\beta t} + A_2 e^{-\alpha t} e^{-\beta t}
-\end{align*} \$
-\$$ x(t) = e^{-\alpha t} ( A_1 e^{\beta t} + A_2 e^{-\beta t} ) \$$
-C'est normal d'avoir deux constantes d'intégrations puisque notre équation différentiel a une dérivé du second degré. Pour trouver ces constantes, ça nous prendrait des valeurs initiales.
-=== Cas 2: ===
-Quand \$ b^2 - 4ac < 0 \$ , \$ r \$ est complexe et nous utiliserons la formule de Euler pour simplifier notre solutions.
-\$ \begin{align*}
-x(t) &= A_1 e^{r_1 t} + A_2 e^{r_2 t} \\
-&= A_1 e^{( -\alpha + i \beta) t} + A_2 e^{( -\alpha - i \beta) t} \\
-&= A_1 e^{-\alpha t} e^{i \beta t} + A_2 e^{-\alpha t} e^{-i \beta t} \\
-&= e^{-\alpha t} ( A_1 e^{i \beta t} + A_2 e^{-i \beta t} ) \\
-&= e^{-\alpha t} \Big( A_1 \big(cos( \beta t) + i \sin( \beta t) \big) + A_2 \big(cos( -\beta t) + i \sin( -\beta t) \big) \Big) \\
-&= e^{-\alpha t} \Big( A_1 \big(cos(\beta t) + i \sin(\beta t) \big) + A_2 \big(\cos(\beta t) - i \sin(\beta t)\big)\Big) \\
-&= e^{-\alpha t} \Big( (A_1 + A_2) \cos(\beta t) + i (A_1 - A_2) \sin(\beta t) \Big) \\
-&= e^{-\alpha t} \Big( a_1 \cos(\beta t) + a_2 \sin(\beta t) \Big) \\
-&= e^{-\alpha t} \Big( A \sin \phi \cos(\beta t) + A \cos \phi \sin(\beta t) \Big)
-\end{align*} \$
-Dans les deux dernière ligne, nous avons ré-écrit les constantes d'intégration:
-\$ \begin{align*}
-a_1 &= A_1 + A_2 & , a_2 &= i(A_1 - A_2) \\
-a_1 &= A \sin \phi & , a_2 &= A \cos \phi
-\end{align*} \$
-Pour finalement pouvoir utiliser une identité trigonométrique:
-\$$ x(t) = A e^{-\alpha t} \sin(\beta t + \phi) \$$
-=== Exemple ===
-Nous avons donc deux types de solutions complètement différents qui dépendent de trois paramètres \$ a, b, c \$. Pour voir comment ces paramètres affectent le graphique, imaginons qu'une de nos conditions initiales est \$ \phi = \frac{\pi}{2} \$ . Ça veut dire que:
-\$ \begin{align*}
-& a_1 = A \sin \pi/2 = A & & a_2 = A \cos \pi/2 = 0 \\
-\Rightarrow \qquad & A_1 + A_2 = A & & A_1 - A_2 = 0 \\
-\Rightarrow \qquad & A_1 = A/2 & & A_2 = A/2
-\end{align*} \$
-Dans ce cas particulier, nous avons donc:
-\$ \begin{equation*} x(t) = \left\{ \begin{array}{rl} A e^{-\alpha t} \dfrac{e^{\beta t} + e^{-\beta t}}{2} & \text{si } b^2 - 4ac > 0 ,\\
-A e^{-\alpha t} \cos(\beta t) & \text{si } b^2 - 4ac < 0 ,\\
-\end{array} \right. \end{equation*} \$