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Outils mathématiques
Les nombres réels
- \$ (5) \times (5) = \Box \$
- \$ (-5) \times (-5) = \Box \$
- \$ \Box \times \Box = -25 \$ Il n'existe pas de nombre qu'on peut multiplier par lui même et obtenir un résultat négatif, mais pourrait-on en inventer un?
Les nombres complexes
\$ i = \sqrt{-1} \qquad \Rightarrow \qquad i^2 = -1 \$
Même si \$ i \not\in \mathbb{R} \$, on peut quand même faire des opérations mathématiques assez intéressantes avec:
- On peut multiplier:
\$ \begin{align*} (1+i)^2 &= 1 + 2i + i^2 \\ &= 1 + 2i - 1 \\ &= 2i \end{align*} \$ - On peut trouver des racines:
\$ \begin{equation*} z^4 = 16 \Rightarrow z^2 = \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \end{equation*} \$ ou
\$\begin{equation*} z^8 = 256 \Rightarrow z^4 = \left\{ \begin{array}{rl} 16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \\ -16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1+i) \\ -4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1-i) \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \end{equation*} \$
Un peu de philosophie...
Si on peut soumettre ces nombres bizarres à toutes les règles d'algèbres qu'on connaît sans arriver à d'incohérence, est-ce que ça veut dire qu'ils existent autant que les nombres réels? Les nombres complexes ne sont-ils pas une création de la part des mathématiciens? Et les mathématiques ne sont-elles pas découvertes? D'une certaine manière, les nombres négatifs sont tout aussi bizarre. Après tout, on sait à quoi ça ressemble 5 voitures, mais -5 voitures? hmmm...
Plan complexe
Pour représenter un nombre complexe graphiquement: Par exemple: \$ z^8 = 256 \$:
: geogebra
Les points noires: \$ z = a + ib \$ sont des solutions de l'équation \$ z^n = w \$. On remarque:
- ...
- ...
- ...
Exercices
- Graphiquement, quelles seraient les solutions de \$ z^3 = 8 \$ ?
- Comment pourraient-on calculer ces nombres algébriquement?
- Algébriquement, calculer les racines de \$ z^2 = 2i \$ et vérifier vos réponses avec le graphique ci-dessous.
: Geogebra
Forme Polaire
Comme pour les vecteurs, les nombres complexes peuvent être exprimés en coordonnées cartésiennes ou polaires.
: Geogebra