• \$ (5) \times (5) = \Box \$
• \$ (-5) \times (-5) = \Box \$
• \$ \Box \times \Box = -25 \$ Il n'existe pas de nombre qu'on peut multiplier par lui même et obtenir un résultat négatif, mais pourrait-on en inventer un?

\$ i = \sqrt{-1} \qquad \Rightarrow \qquad i^2 = -1 \$

Même si \$ i \not\in \mathbb{R} \$, on peut quand même faire des opérations mathématiques assez intéressantes avec:

• On peut multiplier:
  \$ \begin{align*} (1+i)^2 &= 1 + 2i + i^2 \\ &= 1 + 2i - 1 \\ &= 2i \end{align*} \$
• On peut trouver des racines:
  \$ \begin{equation*} z^4 = 16 \Rightarrow z^2 = \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \end{equation*} \$ ou
  \$\begin{equation*} z^8 = 256 \Rightarrow z^4 = \left\{ \begin{array}{rl} 16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \\ -16 \Rightarrow z^2 &= \left\{ \begin{array}{rl} 4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1+i) \\ -4i \Rightarrow z &= \pm \sqrt{2}(1-i) \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \end{equation*} \$

Si on peut soumettre ces nombres bizarres à toutes les règles d'algèbres qu'on connaît sans arriver à d'incohérence, est-ce que ça veut dire qu'ils existent autant que les nombres réels? Les nombres complexes ne sont-ils pas une création de la part des mathématiciens? Et les mathématiques ne sont-elles pas découvertes? D'une certaine manière, les nombres négatifs sont tout aussi bizarre. Après tout, on sait à quoi ça ressemble 5 voitures, mais -5 voitures? hmmm...

Pour représenter un nombre complexe graphiquement: Par exemple: \$ z^8 = 256 \$:

: geogebra

Les points noires: \$ z = a + ib \$ sont des solutions de l'équation \$ z^n = w \$. On remarque:

• ...
• ...
• ...

• Graphiquement, quelles seraient les solutions de \$ z^3 = 8 \$ ?
• Comment pourraient-on calculer ces nombres algébriquement?
• Algébriquement, calculer les racines de \$ z^2 = 2i \$ et vérifier vos réponses avec le graphique ci-dessous.

: Geogebra

Comme pour les vecteurs, les nombres complexes peuvent être exprimés en coordonnées cartésiennes ou polaires.

: Geogebra

Pour convertir d'une représentation à l'autre, on utilise Pythagore et un peu de trigonométrie:

• Convertir \$ 6 \angle \frac{\pi}{3} \$ en coordonnées cartésiennes.
• Convertir \$ 8 - 2i \$ en coordonnées polaires.