This is a brief survey of the math required to analyze waves at the first or second year university level.

If \$ (5) \times (5) = 25 \$ and \$ (-5) \times (-5) = 25 \$, what number (and it has to be the same number) can you put in the boxes so that:

\$$ \Box \times \Box = -25 \$$

It turns out that nowhere on the real number line is there a number such that when you multiply it by itself you get a negative number since two positive numbers give a positive number, and two negative numbers also give a positive number.

But could we invent one?

Let's create an imaginary number called \$ i \$ such that:

\$$ i = \sqrt{-1} \qquad \Rightarrow \qquad i^2 = -1 \$$

Even though \$ i \$ is nowhere on the real line (in math, we say that: \$ i \not\in \mathbb{R} \$), we can non-the-less perform interesting mathematical operations with it:

• We can add it to a real number and create a complex number:

\$$(1 + i) \$$

• We can multiply complex numbers together:

\begin{align*} (1+i)^2 &= 1 + 2i + i^2 \\ &= 1 + 2i - 1 \\ &= 2i \end{align*}

• We can find roots:

\begin{equation*} z^4 = 16 \Rightarrow z^2 = \left\{ \begin{array}{rl} 4 \Rightarrow z &= \pm 2 \\ -4 \Rightarrow z &= \pm 2i \end{array} \right. \end{equation*}

If these weird numbers follow all of the algebra rules without inconsistencies, does it mean they exist as much as the real numbers? Aren't complex numbers a mere creation of mathematicians? Is mathematics discovered or invented?¹⁾ In a certain way, negative numbers are just as weird as complex numbers: after all, we know what 5 cars look like, but −5 cars?

To represent a complex number graphically, we can use the horizontal axis for the real part and the vertical axis for the imaginary part. For example, \$ (1 + i) \$ could be represented as a point 45° up the horizontal axis and \$ \sqrt{2} \$ away from the origin.

You can move the point around to see what the polar representation \$ (r \angle \theta) \$ is.

To convert between the Cartesian \$(a,b) \$ and the Polar \$ (r \angle \theta) \$ representations, only simple trigonometry and Pythagoras is needed.

The complex plan allows us to take another look at how to find roots of the form \$ z^n = w \$. For example, \$z^2 = 9 \$ shows that the roots are \$ z = \pm 3 \$.

• Graphiquement, quelles seraient les solutions de \$ z^3 = 8 \$ ?
• Comment pourraient-on calculer ces nombres algébriquement?
• Algébriquement, calculer les racines de \$ z^2 = 2i \$ et vérifier vos réponses avec le graphique ci-dessous.

: Geogebra

Comme pour les vecteurs, les nombres complexes peuvent être exprimés en coordonnées cartésiennes ou polaires.

: Geogebra

• Convertir \$ 6 \angle \frac{\pi}{3} \$ en coordonnées cartésiennes.
• Convertir \$ 8 - 2i \$ en coordonnées polaires.

La formule de Euler expose une relation très profonde entre les fonctions trigonométriques et les fonctions exponentiels ²⁾: \$$ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \$$

Vérifions cette identité mystérieuse de deux façons.

Si on sépare cette identité en deux fonctions et qu'on prend la dérivées de ces deux fonctions, on remarque que: \$ \begin{align*} \text{Si} && f(\theta) &= e^{i \theta} &\text{ et }&& g(\theta) &= \cos \theta + i \sin \theta \\ \Rightarrow && f'(\theta) &= i e^{i \theta} &\text{ et }&& g'(\theta) &= -\sin \theta + i \cos \theta \\ \Rightarrow && f'(\theta) &= i \cdot f(\theta) &\text{ et }&& g'(\theta) &= i \cdot g(\theta) \end{align*} \$

On sait qu'il n'y a qu'une fonction \$ h(x) \$ qui satisfasse l'équation différentiel \$ h'(x) = ah(x) \$, et qu'elle est: \$ h(x) = A e^{ax} \$ Ce que Euler à découvert est que quand \$ a = i \$ il y a une deuxième fonction qui satisfasse la même équation différentiel! Ces deux fonctions doivent donc être la même.

Une autre méthode de vérifier la formule d'Euler est d'utiliser les séries de Taylor:

\$ \begin{align*} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \end{align*} \$

Si on remplace \$ x \$ par \$ i \theta \$ et qu'on additionne les séries de \$ \cos \theta \$ et \$ i \sin \theta \$ on obtiendra la série de \$ e^{i \theta} \$

• Utiliser la formule de Euler pour obtenir ces deux résultats qui seront très pratique:

\$$ \cos \theta = \dfrac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \qquad \text { et } \qquad \sin \theta = \dfrac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \$$

• Utiliser la formule de Euler pour démonter d'un seul coup que:

\$ \begin{align*} \cos (\theta + \phi) &= \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \qquad \text{et}\\ \sin (\theta + \phi) &= \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi \end{align*} \$

• Utiliser les deux résultats de la formule de Euler pour démontrer que:

\$$ \sin (\theta + \Delta \theta) + \sin (\theta - \Delta \theta) = 2 \cos \Delta \theta \sin \theta \$$ (ce qui sera très important quand nous ferons de l'interférence d'onde...)

Dans la physique des ondes, on aura bientôt à trouver la solutions d'une équation différentiel de ce type: \$$ a \ddot{x}(t) + b \dot{x}(t) + c x(t) = 0 \$$

Dans nos applications, les paramètres \$ a, b, c \$ serons tous des quantités réels et positive. Même sans avoir étudier le sujet d'équation différentiels en profondeurs, on peut imaginer qu'une solution possible serait \$ x(t)= e^{rt} \$ puisque la dérivé d'une fonction exponentiel est elle même une fonction exponentiel, ce qui est encourageant... L'étape suivante est donc d'essayer cette fonction dans l'équation différentiel, pour trouver les valeurs de \$ r \$ qui fonctionnent. Donc:

\$ \begin{align*} & x (t) = e^{rt} \\ \Rightarrow \qquad & \dot{x}(t) = r e^{rt} \\ \Rightarrow \qquad & \ddot{x}(t) = r^2 e^{rt} \end{align*} \$

et notre équation différentiel devient:

\$ \begin{align*} & a \ddot{x}(t) + b \dot{x}(t) + c x(t) = 0 \\ \Rightarrow \qquad & a (r^2 e^{rt}) + b (r e^{rt}) + c (e^{rt}) = 0 \\ \Rightarrow \qquad & e^{rt} (a r^2 + b r + c ) = 0 \\ \Rightarrow \qquad & a r^2 + b r + c = 0 \end{align*} \$

\$ \Rightarrow \qquad r = - \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \$

Puisque \$ r \$ contient une racine carré, il peut être réel, ou complexe. Pour simplifier la notation, disons que: \$ \alpha = \dfrac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = \dfrac{\sqrt{|{b^2 - 4ac}|}}{2a} \$

Nous pourrons donc dire que: \$ \begin{equation*} r = \left\{ \begin{array}{rl} -\alpha \pm \beta & \text{si } b^2 - 4ac > 0,\\ -\alpha \pm i \beta & \text{si } b^2 - 4ac < 0, \end{array} \right. \end{equation*} \$

Examinons les deux cas en plus de détails.

Quand \$ b^2 - 4ac > 0 \$ , \$ r \$ est réel et la solutions général sera:

\$ \begin{align*} x(t) &= A_1 e^{r_1 t} + A_2 e^{r_2 t} \\ &= A_1 e^{( -\alpha + \beta) t} + A_2 e^{( -\alpha - \beta) t} \\ &= A_1 e^{-\alpha t} e^{\beta t} + A_2 e^{-\alpha t} e^{-\beta t} \end{align*} \$

\$$ x(t) = e^{-\alpha t} ( A_1 e^{\beta t} + A_2 e^{-\beta t} ) \$$

C'est normal d'avoir deux constantes d'intégrations puisque notre équation différentiel a une dérivé du second degré. Pour trouver ces constantes, ça nous prendrait des valeurs initiales.

Quand \$ b^2 - 4ac < 0 \$ , \$ r \$ est complexe et nous utiliserons la formule de Euler pour simplifier notre solutions.

\$ \begin{align*} x(t) &= A_1 e^{r_1 t} + A_2 e^{r_2 t} \\ &= A_1 e^{( -\alpha + i \beta) t} + A_2 e^{( -\alpha - i \beta) t} \\ &= A_1 e^{-\alpha t} e^{i \beta t} + A_2 e^{-\alpha t} e^{-i \beta t} \\ &= e^{-\alpha t} ( A_1 e^{i \beta t} + A_2 e^{-i \beta t} ) \\ &= e^{-\alpha t} \Big( A_1 \big(cos( \beta t) + i \sin( \beta t) \big) + A_2 \big(cos( -\beta t) + i \sin( -\beta t) \big) \Big) \\ &= e^{-\alpha t} \Big( A_1 \big(cos(\beta t) + i \sin(\beta t) \big) + A_2 \big(\cos(\beta t) - i \sin(\beta t)\big)\Big) \\ &= e^{-\alpha t} \Big( (A_1 + A_2) \cos(\beta t) + i (A_1 - A_2) \sin(\beta t) \Big) \\ &= e^{-\alpha t} \Big( a_1 \cos(\beta t) + a_2 \sin(\beta t) \Big) \\ &= e^{-\alpha t} \Big( A \sin \phi \cos(\beta t) + A \cos \phi \sin(\beta t) \Big) \end{align*} \$

Dans les deux dernière ligne, nous avons ré-écrit les constantes d'intégration:

\$ \begin{align*} a_1 &= A_1 + A_2 & , a_2 &= i(A_1 - A_2) \\ a_1 &= A \sin \phi & , a_2 &= A \cos \phi \end{align*} \$

Pour finalement pouvoir utiliser une identité trigonométrique:

\$$ x(t) = A e^{-\alpha t} \sin(\beta t + \phi) \$$

Nous avons donc deux types de solutions complètement différents qui dépendent de trois paramètres \$ a, b, c \$. Pour voir comment ces paramètres affectent le graphique, imaginons qu'une de nos conditions initiales est \$ \phi = \frac{\pi}{2} \$ . Ça veut dire que:

\$ \begin{align*} & a_1 = A \sin \pi/2 = A & & a_2 = A \cos \pi/2 = 0 \\ \Rightarrow \qquad & A_1 + A_2 = A & & A_1 - A_2 = 0 \\ \Rightarrow \qquad & A_1 = A/2 & & A_2 = A/2 \end{align*} \$

Dans ce cas particulier, nous avons donc:

\$ \begin{equation*} x(t) = \left\{ \begin{array}{rl} A e^{-\alpha t} \dfrac{e^{\beta t} + e^{-\beta t}}{2} & \text{si } b^2 - 4ac > 0 ,\\ A e^{-\alpha t} \cos(\beta t) & \text{si } b^2 - 4ac < 0 ,\\ \end{array} \right. \end{equation*} \$

Geogebra